De la aritmética medieval al álgebra renacentista
Tras la caída del Imperio Romano de Occidente siguió un periodo,
del siglo VI al XIV, oscuro para la matemática; únicamente
brillaron los matemáticos del Islam y, en menor medida, algunas
otras figuras, Boecio, Fibonacci, Bradwardine, Nemorario, aunque de calidad
muy inferior a los griegos. Boecio era un romano de familia noble. Estudió
en Atenas filosofía y matemáticas. A su regreso a Roma fue
nombrado senador y sin causa aparente fue encarcelado y ejecutado en el
524 d.C. En la soledad de la cárcel escribió su obra
De consolatione philosophiae que lo haría inmortal.
Antes, sin embargo, había
escrito distintas obras menores sobre aritmética, geometría,
música y astronomía. Eran obras elementales fáciles
de entender qu fueron bastante populares en la Edad Media. Incluimos aquí
un incunable de la Opera de Boecio del año 1492 donde podemos
apreciar los números poligonales como n(n+1)/2 -números
triangulares- y los 3n(n-1)/2 -números pentagonales-.
Lo más importante de este periodo fue la difusión y consolidación de nuestro actual sistema de numeración hindú-árabe, especialmente útil para las actividades comerciales. Por esto, fue en las activas repúblicas alemanas e italianas donde, ya en el Renacimiento, se produjo la mayor profusión de aritméticas: la de Francesco Pellos, Luca Pacioli, Stiefel ... Este último fue un personaje singular. Se ordenó monje en Esslingen, su ciudad natal en 1511, luego durante los años de la Reforma se convirtió en seguidor de Lutero y estudiando la Biblia comenzó a interesarse por una combinatoria numérica. Una de las anécdotas más curiosas ocurrió cuando, basado en su misticismo numérico, comenzó a predicar el fin del mundo para el 18 de octubre de 1511 estando a punto de ser linchado por sus seguidores al no ocurrir nada ese día. En 1544 después de 9 años de estudio sistemático de la Matemática publica su Arithmetica integra donde mejora la representación de las potencias de la incógnita en una ecuación y utiliza por primera coeficientes negativos sin embargo, incomprensiblemente, seguirá ignorando las soluciones negativas de una ecuación. Podemos apreciar aquí (izquierda) una primera edición de la Arithmetica integra de Stifel donde se ve claramente el uso de los símbolos +, - y el símbolo para la raíces que ya eran usados con regularidad por aquella época, al menos en las ciudades asociadas de la Hansa, por una pléyade de maestros aritméticos en cuyas obras se desarrolló gran parte de la notación hoy habitual: el + y - para la suma y la resta, o el signo para las raíces.
Pero sin duda alguna, el mayor logro matemático del siglo XVI fue la resolución por radicales de las ecuaciones de tercer y cuarto grado. En cuatro mil años, desde que los babilonios descubrieran como resolver la de segundo grado, casi nada nuevo se había logrado en este campo. La historia de la resolución de las ecuaciones de tercer y cuarto grado tiene, además, todo el colorido de la época: intrigas, desafíos públicos, acusaciones de plagio. Sus protagonistas, Tartaglia y, sobre todo, Cardano, médico, matemático, filósofo, escritor y astrólogo, representan fielmente las miserias y virtudes del hombre renacentista.
Tartaglia - o el tartamudo como el mismo se autodenominaba- nació en 1499 o 1500. Fue autodidacta desde los 14 años, edad en la que aprendió a escribir. Luego enseño matemáticas en Verona hasta que en 1534 se traslada a Venecia donde murió en 1557 en la misma pobreza que le acompañó toda su vida. El primero en encontrar una fórmula para resolver ciertos tipos de ecuaciones cúbicas fue Scipione del Ferro aunque no los publicó. Un discípulo suyo, Antonio Fiore se hizo con ellos años más tarde. Al mismo tiempo Tartaglia que estaba estudiando el mismo tipo de ecuaciones descubrió más casos que los que podía resolver Fiore. Todo esto concluyó en un desafío público donde ambos contrincantes, Tartaglia y Fiore, proponían una serie de problemas y el que mayor cantidad resolvía resultaba vencedor. Es fácil adivinar que Tartaglia salió airoso de semejante duelo matemático. Es ahí donde entra nuestro tercer personaje: Girolano Cardano. Cardano fue un médico de éxito y un reputado astrólogo -predijo incluso el día de su muerte: 21 de septiembre de 1576. !Y acertó!-. Su primera obra matemática fue Practica Arithmeticae (derecha) publicada en 1539 y de la que incluimos un ejemplar de la primera edición publicada en Milán. Al enterarse del gran éxito de Tartaglia contactó con él y luego de rogarle largamente para que le enseñara la fórmula este último accedió a dársela no sin antes hacerle jurar que no la haría pública pues pensaba publicarla el mismo y ganar fama y dinero. Aunque hay quien asegura que Cardano no tardó ni un minuto en romper su promesa, lo cierto es que tardó 6 años en revelar la famosa fórmula, probablemente debido, en parte, a que Tartaglia no acababa de publicarla y por tanto decide incluirla en su Ars Magna (izquierda) cuya primera edición de 1570 podemos admirar en la fotografía de la derecha, abierta además por la página donde Cardano introduce los números complejos a partir de un sencillo problema geométrico que dicho en el lenguaje habitual sería el siguiente: Dado un segmento de longitud 10 unidades, dividirlo en dos partes de forma que forme un rectángulo de area igual a 40 unidades cuadradas - es fácil ver que el problema se reduce a la ecuación x2-10x+40=0, cuyas las soluciones son complejas-. Tartaglia encajó muy mal el golpe de Cardano culminando esto con un desafío en Milán en 1548 entre Ferrari, yerno de Cardano, y Tartaglia que casi termina en tragedia para Tartaglia según sostienen ciertos historiadores de la época y que terminó en un ''Empate tácito''.
A raíz de la polémica entre Cardano y Tartaglia, Rafael
Bombelli, el último de los algebristas italianos del Renacimiento
quien había leído el Ars Magna de
Cardano a los 19 años, decidió escribir un
tratado de álgebra que permitiese a cualquiera dominar el tema sin
recurrir a ningún otro libro
-debemos destacar que el Ars Magna
de Cardano estaba escrito de manera muy
poco clara-. Su obra L'Algebra, de la que presentamos un ejemplar
de la segunda edición de 1579 (izquierda), contiene un tratado completo
de toda el álgebra conocida en su época. En particular en
su L'Algebra utiliza por primera vez los números complejos
en una aplicación esencial: la resolución de la ecuación
cúbica irreducible, o sea, la que tiene sus tres raíces reales;
usando, como el mismo cuenta, una «idea loca» que consistía
en considerar que las raíces de lo que hoy denominamos complejos
conjugados tendrían que ser a su vez complejos conjugados y por
tanto se podía operar con ellos formalmente aunque no existieran.
!Cómo le hubiese gustado a Bombelli saber que esa ecuación es imposible
de resolver por radicales sin pasar antes por el campo complejo como se
demostraría dos siglos y medio después a partir de los resultados
de Galois!
Para terminar este periodo de nuestra Exposición
destacaremos la figura del francés François Viète, quien,
junto con los algebristas italianos, es sin duda la figura cumbre del álgebra
renacentista. Fue precisamente Viète quien dio el paso decisivo
de distinguir simbólicamente las incógnitas de los parámetros
constantes, y apuntó algo hoy habitual pero muy novedoso en aquellos
tiempos: la importancia del álgebra de especies o magnitudes. Una
de sus primeras obras es la que vemos aquí (izquierda). Se trata de su
Canonem
mathematicum de la cual se desconoce el lugar y fecha de edición
-aunque es posible que sea de la primera-. Viète apuesta decididamente
por las fracciones decimales aunque fue Stevin -quien nuevamente aparecerá en
la sección dedicada al cálculo- quien difundió el
uso de los decimales fuera del ámbito matemático.