De cómo se gestó y vino al mundo el cálculo infinitesimal
Del legado de las matemáticas, el cálculo infinitesimal es, sin duda, la herramienta más potente y eficaz para el estudio de la naturaleza. El cálculo infinitesimal tiene dos caras: diferencial e integral; y un oscuro interior donde, como demonios, moran los infinitos: grandes y pequeños. Los orígenes del cálculo integral se remontan, como no, al mundo griego; concretamente a los cálculos de áreas y volúmenes que Arquímedes calculó en el siglo III a.C.. Aunque hubo que esperar mucho tiempo hasta el siglo XVII -¡2000 años! para que apareciera -o mejor, como Platón afirmaba para que se descubriera- el cálculo. Varias son las causas de semejante retraso. Entre ellas debemos destacar la inexistencia de un sistema de numeración adecuado - en este caso el decimal- así como del desarrollo del álgebra simbólica y la geometría analítica que permitieron el tratamiento algebraico -y no geométrico- de las curvas posibilitando enormemente los cálculos de tangentes, cuadraturas, máximos y mínimos, entre otros. Todo ello ocurrió esencialmente en el siglo XVII. Comenzaremos por tanto desde el principio.
Como ya es habitual comenzaremos por un filósofo. En este caso Aristóteles. Ya los griegos se habían preocupado de como tratar ese ente tan curioso -como difícil- que es el infinito. Para los griegos el infinito aparece de dos maneras distintas: lo infinitamente pequeño y lo infinitamente grande. Ya apareció de algún modo en la inconmensurabilidad de la diagonal de cuadrado; también, claro está, lo tenemos en la famosa paradoja de Zenón sobre Aquiles y la tortuga, por ello no es de extrañar que alguien intentara regularlos. Ese alguien fue nada más y nada menos que Aristóteles. Lo que hizo fue prohibir el infinito en acto «no es posible que el infinito exista como ser en acto o como una substancia y un principio», escribió, pero añadió «es claro que la negación absoluta del infinito es una hipótesis que conduce a consecuencias imposibles» de manera que el infinito «existe potencialmente [...] es por adición o división». Así, la regulación aristotélica del infinito no permite considerar un segmento como una colección de puntos alineados pero sí permite dividir este segmento por la mitad tantas veces como queramos. Fue Eudoxo, discípulo de Platón y contemporáneo de Aristóteles quien hizo el primer uso "racional" del infinito en las matemáticas. Eudoxo postuló que «toda magnitud finita puede ser agotada mediante la substracción de una cantidad determinada». Es el famoso principio de Arquímedes que éste toma prestado a Eudoxo y que sirvió a aquel para superar la primera crisis de las Matemáticas -debida al descubrimiento de los irracionales-.
No obstante, fue obviamente Arquímedes
el precursor del cálculo integral aunque desgraciadamente -o quizá por
suerte, quién sabe- su método se perdió y por tanto
no tuvo ninguna repercusión en el descubrimiento del cálculo
-recordemos que su original método "mecánico" donde además
se saltaba la prohibición aristotélica de usar el infinito in acto
se perdió y solo fue recuperado en 1906 como ya hemos tenido ocasión
de contar en la sección dedicada a los griegos-.
La genial idea de siracusano
fue considerar las áreas como una colección -necesariamente
infinita- de segmentos. Habrá que esperar 2000 años hasta
que otro matemático -en este caso Cavalieri- volviera a usar de
esa manera los infinitos. De hecho Leibniz descubrió la clave de
su cálculo al ver un trabajo de Pascal donde éste usaba un
método semejante. Como primer libro de esta sección
colocaremos, por tanto, la Opera Omnia de Arquímedes que ya vimos
antes. Se trata de la edición de 1911 debida a Heiberg. Esta abierta
justo en la página donde Arquímedes describe el método
de sus infinitos segmentos para cuadrar la parábola usando una palanca
y moviendo convenientemente los correspondientes segmentos hasta que ambas
figuras, triángulo y parábola quedasen equilibradas.
Como
ya mencionamos una razón importante de la aparición del cálculo
fue la aparición de una adecuada representación para los
números. Se trata de la representación decimal -cuyo primer
registro escrito en el mundo occidental mostramos en la sección
dedicada a las matemáticas en la península ibérica-.
Junto a Viète, uno de los principales impulsores de la idea fue
Simon Stevin del cual admiramos Les oubres mathematiques (Leiden,
1634) especialmente abierto en la primera página de La Disme
donde Stevin desarrolla si aritmética decimal. También
Stevin uso distintos argumentos infinitesimales para calcular centros de
gravedad, pero eso lo veremos más adelante. No obstante fue la necesidad
de entender obras griegas difíciles como las de Arquímedes
-ya en el siglo XVII se habían recuperado y se dominaban la mayoría
de las obras griegas, por ejemplo admírese la preciosa edición de
las obras de Arquímedes debida a Wallis (arriba a la izquierda)
justamente abierta éste da su famosa estimación de Pi usando
polígonos regulares inscritos y circunscritos a la circunferencia- que
desembocó en el nacimiento del cálculo. Aunque también
ayudó un cambio de actitud en la matemática del siglo XVII
quizá influenciada por los grandes descubrimientos de todo tipo
-geográficos, científicos, médicos y tecnológicos-
y fué el interés de los matemáticos por descubrir
más que por dar pruebas rigurosas. Ello potenció sin duda
el uso del infinito sin las limitaciones aristotélicas de las que
ya hemos hablado. Y finalmente, el descubrimiento de la Geometría
analítica de Descartes y Fermat.
La
primera parte del siglo XVII vio el nacimiento de la geometría analítica
de Fermat y Descartes. La importancia de este descubrimiento consiste en
que la geometría analítica permite el tratamiento algebraico
de problemas geométricos, al asignar a las curvas, superficies,
etc. fórmulas algebraicas que las describen y permiten su manipulación
analítica. De esta forma encontrar tangentes, por ejemplo, se hacía
extremadamente sencillo -basta saber calcular las derivadas como ahora
sabemos- frente a los engorrosos y específicos para cada curva
procedimientos geométricos.
De los dos inventores de la geometría analítica, uno
es más conocido como filósofo: Renato Descartes. Presentó
su geometría junto con otros dos tratados científicos:
la
dióptrica y los meteoros y les preparó un prólogo
que se convertiría después en uno de los libros de filosofía
más conocidos de la historia: El discurso del método.
El otro inventor de la geometría analítica, Pierre de Fermat,
fue jurista y aficionado a las matemáticas: probablemente el mejor
aficionado que ha visto la historia, sin duda superior a muchos profesionales.
Intervino de hecho en todas las ramas de las matemáticas que se
crearon en el siglo XVII, y no fueron pocas. Fermat no publicó,
sin embargo, casi nada: sus obras aparecieron años después
de su muerte editadas por su hijo. Mostraremos aquí un ejemplar
de la primera edición (Leiden, 1637) del Discours de la Methode...
la obra más célebre de Descartes y una de las obras
filosóficas más famosas jamás escrita que como ya dijimos
antes servía de prólogo a tres obras de este autor -entre las
que se incluía su Geómetrie-. A la derecha podemos
apreciar una de las tantas ediciones que más tarde se realizaran de la
Geometría ya separada del resto de sus originales compañeras.
Otra razón no menos importante es que, como ya mencionamos, en
el siglo XVII los matemáticos perdieron el miedo a los infinitos
que los griegos les habían tenido: Kepler y Cavalieri fueron los
primeros en usarlos, empezaron a andar un camino que llevaría en
medio siglo al descubrimiento del cálculo infinitesimal. El primer
paso importante
se debe a Cavalieri -discípulo de Galileo-. Cavalieri considera
áreas formadas por segmentos y volúmenes formados por trozos
de áreas
planas redescubriendo las bases metodológicas del método
mecánico -y desconocido en aquella época- de Arquímedes.
Cavalieri incluso fue más allá intentando construir una teoría
de indivisibles que le permitiera, evitando los infinitos, demostrar rigurosamente
sus resultados -cosa que no consiguió ya que el infinito en acto
siempre acababa apareciendo en alguna parte-. Las desventajas de
su método de indivisibles -poca generalidad, debilidad lógica,
excesivos razonamientos y procedimientos geométricos- fueron rápidamente
superados por Torricelli, Fermat, Pascal Wallis y Roberval. 
Otro
de los protagonistas de nuestra historia es, sin duda, Grégoire
de Saint-Vicent, jesuita discípulo de Clavius al que ya encontramos
en el apartado de astronomía reformando el calendario. Sus principales
aportaciones las publicó en su Opus geometricum de cuya primera
edición de 1647 podemos admirar un ejemplar (izquierda). En ella
desarrolla un método de integración geométrico, estudia
las series geométricas incluyendo diversas aplicaciones de las mismas
discutiendo, como no, la conocida aporía
de Zenón sobre Aquiles y la tortuga que además resolvía
magistralmente argumentando que Zenón no consideró en la
persecución de Aquiles que el tiempo formaba una progresión
geométrica de razón 1/2 y por tanto tardaba un tiempo finito
en alcanzar a la tortuga. Finalmente, una de sus aportaciones más
valiosas consistió en que encontró que el área encerrada
bajo una hipérbola se expresaba mediante los logaritmos. Este resultado
es el que justamente podemos admirar en la foto de su obra ya mencionada.
Nuestro
próximo personaje es John Wallis, miembro fundador de la Royal Society
de Londres y editor de obras de Arquímedes que además escribió
una Gramática inglesa -como ya antes ya había hecho Nebrija
con la castellana-.
Wallis aritmetizó los indivisibles de Cavalieri asignándoles
valores numéricos convirtiendo de esta forma el cálculo de
áreas -hasta el momento algo meramente geométrico- en cálculos
aritméticos más un primitivo proceso al límite haciendo
además un uso descarado del infinito -a él debemos también
el símbolo que usamos actualmente, ese 8 acostado-. Es curiosa la
opinión que él mismo profesaba de sus métodos: «Este
procedimiento es altamente heterodoxo, pero puede verificarse mediante
el bien conocido métodos de figuras inscritas y circunscritas, lo
que es superfluo, porque la frecuente iteración produce náuseas
al lector. Cualquier ducho en la materia puede realizar la prueba»,
escribió en su Arithmetica infinitorum. Usando su método
aritmético, la inducción incompleta y su intuición
llegó a calcular el área de todas las parábolas generalizadas xrcon
r
racional excluyendo al -1, además de una bellísima fórmula
para calcular Pi
| Pi = 2·2·4·4·6·6·8·8···· |
| 4 1·3·3·5·5·7·7···· |
Presentamos aquí una foto de la portada del libro De Algebra
tractatus correspondiente a su primera edición latina de 1693
contenido en su Operum mathematicorum. El trabajo de Wallis
influyó enormemente en Newton quien aseguró que el desarrollo
del binomio y otras ideas iniciales sobre el cálculo tuvieron los
orígenes en el estudio que realizó del libro de Wallis en
su época de estudiante en Cambridge. El mismo Wallis propone una
genealogía del cálculo:
- Método de Exhaución (Arquímedes)
- Método de los indivisibles (Cavalieri)
- Aritmética de los infinitos (Wallis)
- Métodos de las series infinitas (Newton)
Dediquemos algún tiempo a comentar los métodos infinitesimales
relacionados con el cálculo de tangentes, que junto al de áreas
consituyeron la base del cálculo. En la parte central del siglo
XVII, las cantidades infinitesimales, los fantasmas de cantidades desaparecidas,
como alguien las llamó en el siglo XVIII, fueron cada vez más
usadas para resolver problemas de cálculos de tangentes áreas,
volúmenes, etc.; los primeros darían origen al cálculo
diferencial, los otros al integral.
Como hemos mencionado Saint Vincent, Pascal, Wallis, ... siguieron los pasos
de Kepler y Cavalieri; además de los infinitésimos cada vez
usaban más fórmulas y menos dibujos: la geometría
analítica cumplía su función de puente entre la geometría
y el análisis. Si Isaac Barrow, el maestro de Newton en Cambridge
la hubiera estudiado bien, podría haber arrebatado a su discípulo
el descubrimiento del cálculo. En efecto, como ya comentamos, la
geometría analítica amplió considerablemente el horizonte
de las curvas geométricas. Un ejemplo de tales fue el logaritmo.
Surgidos de la necesidad de ahorrar tiempo y evitar errores en los engorrosos
cálculos usados por los astrónomos -tenían que realizar
una ingente cantidad de multiplicaciones, divisiones y extracciones de
raíces- fueron descubiertos independientes por Napier y Bürgi
terminaron convirtiéndose en una curva a la que se podía
calcular su área -lo hizo Saint-Clement- y su tangente, etc. Mostramos
a la derecha un ejemplar de la segunda edición de la obra de Napier
Logaritmorum
canonis descriptio ... de 1619 que incluía una explicación
detallada de como se ha de elaborar una tabla de logaritmos no incluida
en a primera edición de 1614. Este incremento de nuevas curvas hizo
imprescindible el desarrollar nuevos métodos para calcular tangentes. 
Uno
de ellos fue el método de adigualdades de Pierre Fermat que
servía además para calcular máximos y mínimos.
Esto unido a sus trabajos sobre cuadraturas le hacen merecedor de un
puesto de honor como precursor del cálculo. Newton en una carta
descubierta en 1934 escribió en relación con sus ideas para
el desarrollo del cálculo: «La indicación me la dio
el método de Fermat para las tangentes. Aplicándolo a las
ecuaciones abstractas directas e inversamente, yo lo hice general».
Sin duda Fermat fue uno de los mejores matemáticos del siglo XVII
y el mejor matemático aficionado de la historia -y no precisamente
por su "larga" demostración que no entraba en el estrecho margen
de la obra de Diofanto y que le ha hecho famoso fuera del círculo
estrictamente matemático- por sus contribuciones importantes en
casi todas las ramas de las matemáticas que emergieron en ese siglo.
Mostramos aquí una foto de la portada de su Varia opera mathematica
publicada póstumamente por su hijo en 1679.
Relacionado con los problemas de tangentes surgió a mediados del XVII el llamado problema inverso de tangentes, es decir, deducir una curva a partir de las propiedades de sus tangentes. El primero en plantear un problema de este tipo fue Florimond de Beaune, discípulo de Descartes, quien planteó, entre otros, el problema de encontrar la curva con subtangente constante. El propio Descartes lo intentó sin éxito siendo Leibnitz el primero en resolverlo en la la primera publicación de la historia sobre el cálculo infinitesimal. De hecho un elemento esencial para el descubrimiento del cálculo era el reconocimiento de que el problema de las tangentes y las cuadraturas eran problemas inversos, de hecho es por eso que la relación inversa entre la derivación y la integración es lo que hoy, con toda justicia y razón, llamamos Teorema fundamental del cálculo.
Pero pasemos ya al Cálculo. Newton en su célebre frase
«Si he llegado a ver más lejos que otros es por que me subí
a hombros de gigantes» se refiere entre otros a su maestro y
mentor Isaac Barrow. Barrow fue probablemente
el científico que estuvo más cerca de descubrir el cálculo.
Llegó a las matemáticas en su afán de comprender la
teología -de hecho se marcho de su cátedra en Cambridge,
cediéndosela a Newton para continuar sus estudios teológicos-.
En la lección X de su obra Letiones opticae & geometricae
Barrow demuestra su versión geométrica del Teorema fundamental
del cálculo. Podemos admirar el comienzo de esa lección así
como la figura 109 directamente relacionada con el teorema que Barrow explica
como que el valor de la pendiente de la tangente en F a VIFI se corresponde
con el segmento DE, o sea, si trazamos la tangente a la curva cuadratriz
VIFI en un punto, se obtiene como pendiente para esta recta tangente el
valor de la curva inicial en ese punto.
En el último cuarto del siglo XVII, Newton y Leibnitz, de manera independiente, sintetizaron de la maraña de métodos infinitesimales usados por sus predecesores dos conceptos, los que hoy llamamos la derivada y la integral, desarrollaron unas reglas para manipular la derivada -reglas de derivación-y mostraron que ambos conceptos eran inversos- teorema fundamental del cálculo-: acababa de nacer el cálculo infinitesimal. Para resolver todos los problemas de cuadraturas, máximos y mínimos, tangentes, centros de gravedad, etc que habían ocupado a sus predecesores bastaba echar a andar estos dos conceptos mediante sus correspondientes reglas de cálculo
El
primero en descubrirlo fue Newton, pero su fobia a publicar le hizo guardar
casi en secreto su descubrimiento. Newton gestó el cálculo
en sus anni mirabilis (1665-1666) cuando se refugiaba en su casa
materna de la epidemia de peste que asolaba Inglaterra. De hecho su primera
obra sobre el cálculo De analyse per aequationes numero
terminorum infinitas -que le valió la cátedra lucasiana
que dejó su maestro Barrow- fue finalizada en 1669 aunque sólo
la publicó en 1711 -contémplese una foto de la portada de
su primera edición donde además admiramos el cálculo
del área bajo la parábola x m/n usando
el teorema fundamental del cálculo mediante primitivas-. Nótese
además la aparición de las famosas Epistola prior y
Epistola posterior, sendas cartas dirigidas a Leibnitz.
En
ambas Newton explica muy someramente -básicamente se centra en el
teorema del binomio-, en la primera, e incomprensiblemente, en la segunda,
su método de cálculo. La segunda obra de Newton sobre el
cálculo fue escrita dos años más tarde en 1671 pero
esperaría hasta 1737 para ver la luz !diez años después
de su muerte y 66 después de escrita!. Se trata de De methodis serierum
et fluxionum. En ella Newton describe sus conceptos de fluente
-es una variable en función del tiempo- y fluxión de la fluente
-la derivada respecto al tiempo de la fluente- como entidades propias,
con unas reglas algorítmicas de fácil uso que luego usará
para resolver distintos problemas de máximos y mínimos, tangentes,
cuadraturas -en relación a este último, estableció
el ya mencionado Teorema fundamental del cálculo-. Para demostrar
la potencia de su cálculo Newton se dedica en unas "pocas" páginas
a resolver todos los problemas de cálculo de tangentes, áreas,
etc que habían ocupado a sus predecesores. En la figura de la izquierda
podemos admirar una página de dicho libro, abierto por la página
donde Newton "destroza" la concoide de Nicómedes con su nuevo método
de cálculo. Una pregunta que casi inmediatamente aflora en la mente
es ¿por qué Newton tardó tanto en publicar sus resultados?
A parte de su peculiar personalidad y las distintas disputas que tuvo con
muchos de sus contemporáneos, Newton era consciente de la débil
fundamentación lógica de su método de cálculo
de fluxiones -no obstante siempre hubo copias de sus trabajos circulando
entre sus amigos-. Este temor también está patente en su
obra cumbre: Los Principia, donde optó por un lenguaje geométrico
más riguroso -y obscuro- eliminando todo indicio de su cálculo
que probablemente usó -se puede encontrar una única mención
del mismo en el lema II de la sección II del libro II: la regla
para derivar productos-.
Leibnitz, más conocido como filósofo, fue el otro inventor del
cálculo.
Su descubrimiento fue posterior al de Newton, aunque Leibnitz fue el primero
en publicar el invento. Lo hizo además usando una vía ciertamente
novedosa en aquella época: para facilitar la difusión de
sus resultados los publicó en una de las recién creadas revistas
científico filosóficas el Acta Eroditorum que el mismo
había ayudado a fundar -eran ciertamente momentos importantes
para la ciencia
donde empezaron a aparecer las revistas científicas que permitirían
luego y hasta nuestro días la difusión del conocimiento y
los descubrimientos científicos-. Durante una estancia en París
-ya que era un afamado diplomático- Leibnitz conoce a Huygens quien
le induce a estudiar matemáticas. En 1673, luego de estudiar los
tratados de Pascal, Leibnitz se convence que los problemas inversos de
tangentes y los de cuadraturas eran equivalentes.
Alejándose
de estos problemas, a partir de sumas y diferencias de sucesiones comienza
a desarrollar toda una teoría de sumas y diferencias infinitesimales
que acabarían en la gestación de su cálculo por el
año 1680 y a diferencia de Newton si lo publica en las mencionadas
Actas con el título "Un nuevo método para los máximos
y los mínimos, así como para las tangentes, que no se detiene
ante cantidades fraccionarias o irracionales, y es un singular género
de cálculo para estos problemas". En este artículo de 6
páginas -e incomprensible como el mismo luego reconoce- Leibnitz
recoge de manera esquemática sin demostraciones y sin ejemplos su
cálculo diferencial -«un enigma más que una explicación»
dijeron de él los hermanos Bernoulli-. También el él
Leibnitz resuelve el ya mencionado problema de De Beaune
encontrando que la solución era el logaritmo. El siguiente artículo
de Leibnitz se llamó "Sobre una geometría altamente oculta
y el análisis de los indivisibles e infinitos", también
publicado en las Actas Eroditorum en 1686. En él aparece
por primera vez la notación para la integral que todavía
hoy usamos -en en primero introduce la notación "dx" para
el diferencial-. Encima a la derecha podemos admirar este trabajo aunque
por razones tipográficas en vez de la S alargada para la
integral aparece una especie de f.
Como
colofón a estas páginas y a nuestra Exposición virtual
dedicaremos unas líneas a tratar la mayor de todas las disputas que ha
conocido la ciencia: la prioridad de la invención del cálculo.
Las suspicacias entre Newton y Leibnitz y sus respectivos seguidores, primero
sobre quién había descubierto antes el cálculo y,
después, sobre si uno lo había copiado del otro, acabaron
estallando en un conflicto de prioridad que amargó los últimos
años de ambos genios. Para comenzar diremos que la disputa fue evitable
pues los métodos de ambos genios tienen importantes diferencias
conceptuales que indican claramente la génesis independiente de
los mismos. Newton consideraba las curvas generadas por el movimiento continuo
de un punto basándose su cálculo diferencial en la medida
de la variación de la misma -de su fluir- mientras que Leibnitz
consideraba una curva como formada por segmentos de longitud infinitesimal
cuya prolongación generaba la tangente en cada punto y de cuya geometría
se obtiene la correspondiente relación entre las diferenciales.
Incluso la fundamentación de ambos métodos es totalmente
distinta. Si el de Newton fue resuelto totalmente mediante el concepto
de límite, el de Leibnitz tuvo que esperar hasta la década
1960-70 hasta la aparición del Análisis no estándar
de Abrahan Robinson. La polémica en cuestión se fraguó
a finales del siglo XVII: por un lado Leibnitz no había hecho ninguna
alusión al cálculo infinitesimal de Newton -que el mismo
Newton le había indicado que existían en sus Epistolae-
además que en Holanda -como le aseguró Wallis- se atribuía
el cálculo a Leibnitz, eso sin contar que los discípulos
de Leibnitz habían publicado el primer libro sobre el cálculo:
el
Analyse des infiniment petits que redactó el Marquéz
de L'Hospital a partir de las clases particulares que le dio Juan Bernoulli
y de cuya primera edición podemos admirar una foto -nótese
que no aparece el nombre de su autor por ningún sitio-.
La respuesta de los segidores de Newton no se hace esperar. Primero
el propio Newton hace publicar en el tercer volumen de las obras matemáticas
de Wallis -que ya vimos antes- la correspondencia cursada con Leibnitz
las Epistolae prior & posterior donde este pedía a Newton
le enviase resultados sobre series, luego Fatio de
Duillier, amigo de Newton, acusa a Leibnitz de haber plagiado a Newton
y como no, en su ya mencionada
De quadratura curvarum, Newton alega
«En una carta escrita a Sr. Leibnitz en 1676 y publicada por Wallis,
mencionaba un método por el cual había encontrado algunos
teoremas generales acerca de la cuadratura de figuras curvilíneas [...]
Hace años yo presté un manuscrito conteniendo tales teoremas;
y habiéndome encontrado desde entonces con varias cosas copiadas
de él, lo hago público en esta ocasión ».
La respuesta de Leibnitz no se hizo esperar.
En una reseña del De quadratura curvarum, publicada anónimamente
-aunque era fácil reconocer a su autor: Leibnitz- en 1705 en las
Actas se dice «Para entender mejor este libro los siguientes
hechos deben ser conocidos. Cuando una cantidad varía continuamente
como, por ejemplo, una línea varía por el fluir de un punto
que la describe, aquellos incrementos momentáneos son llamados
diferencias [...] Y por tanto ha aparecido el cálculo diferencial
y su converso, el cálculo sumatorio. Los elementos de este cálculo
han sido publicados por su inventor el Dr. Gottfried Wilhelm Leibnitz en
estas Actas, y sus varios usos han sido mostrados por él y por los
Drs. y hermanos Bernoulli y por el Dr. Marquéz de L'Hospital. En
vez de las diferencias Leibnitzianas, el Dr. Newton empleó, y ha
empleado siempre, fluxiones» donde queda patente la alusión
a Leibnitz y sus discípulos y a Newton sin que esté claro
si éste es uno de aquellos. Esta reseña fue el detonante
del mayor ataque contra Leibnitz desde las Philosophical Transactions
firmado por John Keill quien acusa abiertamente a Leibnitz de plagio. Tras
la protesta de Leibnitz la Royal Society nombra una comisión -que
resultó estar plagada de amigos de Newton- que luego de varias deliberaciones
dictaminó que Newton fue el primero y no acusó a Leibnitz
-aunque tampoco rectificó las duras palabras de Keill-. Esta absurda
guerra duró hasta principios del siglo XIX cuando finalmente
los matemáticos ingleses deciden adoptar la notación Leibnitziana
-que hasta el momento habían ignorado-, con gran perjuicio para
los matemáticos ingleses ya que la matemática inglesa quedó
aislada del resto de la del continente.
Para
cerrar 
nuestra
exposición vamos a relatar, a modo de ejemplo de la gran potencia del
cálculo, uno de los problemas que se resolvió gracias a la
nueva herramienta descubierta por Newton y Leibnitz: el problema de
la braquistocrona. El problema consistía en determinar la curva por la que
un cuerpo desciende en el menor tiempo posible entre dos puntos que no
estén en posición vertical u horizontal. Este problema ya
interesó en su día a Galileo aunque éste fue incapaz
de resolverlo -lo cual no es raro pues para resolverlo se precisaba del
cálculo-. La historia es como sigue. En el número de junio
de 1696 de las Actas Eroditorum, Juan Bernoulli lanzó un reto a
los mejores matemáticos del mundo -este reto lo podemos ver
en la foto a la izquierda de dicho artículo de Bernoulli-. En realidad
era un reto encubierto a Newton. Al cabo del año -el plazo original
fue de seis meses pero a petición de Leibnitz se amplió
para que tuvieran tiempo
los matemáticos franceses e italianos que se habían enterado
tarde- aparecieron cinco soluciones: una de Leibnitz, una del mismo
Juan Bernoulli, otra de su hermano Jacobo, una del conde Walter de Tschirnhaus,
del Marquéz de L'Hospital y una anónima. Todas, excepto la
de L'Hospital daban con la solución: la cicloide. ¿Quién
era ese autor anónimo que escogió las Philosophical Transactions
para publicar su genial solución que sólo contenía
67 palabras? -la cual podemos admirar en la foto de la derecha-. Un vistazo
a la solución fue suficiente para que Juan Bernulli exclamara «tanquam
ex ungue leonen», algo así como «¡reconozco
al león por sus garras!» pues claro está que era
Newton. Años más tarde se aclaró toda la historia.
Como ya dijimos el reto estaba dirigido a los matemáticos ingleses
y a Newton en particular justo en el momento en que comenzaba la polémica
sobre la prioridad para ver si el cálculo de Newton era tan bueno
y poderoso para resolverlo. Además, en una carta de Leibnitz a Juan
Bernulli éste conjetura que sólo quien conozca el cálculo
podrá resolverlo -Newton entre ellos claro está-. Incluso
años después, ya en plena polémica, Leibnitz en una
reseña a la solución del problema afirmaba el problema no
podía ser resuelto sin la ayuda de su recién
inventado método que sólo aquellos que habían profundizado
lo suficiente en su estudio podían resolverlo: estos
eran los Bernoulli, L'Hospital y Newton. Este juego de palabras de
Leibnitz donde se podía deducir que Newton era un discípulo
de suyo fue el otro gran detonante de la guerra que ya mencionamos antes de Duillier.
Como no podía ser de otra forma el reto llegó a Newton aunque por aquel entonces ya no "hacía ciencia" sino que se trabajaba en la Casa de la Moneda inglesa. Según cuenta la sobrina de Newton, este recibió el problema a las 4 de la tarde cuando regresó cansado de la Casa de la Moneda y tenía lista su solución 12 horas después -aunque lo que probablemente no sabía la sobrina era que Newton ya había pensado en ese problema unos años antes y que casi seguro lo había resuelto por lo que sólo tuvo que refrescar la memoria ese día-. Nuevamente aparece la misma pregunta: Si Newton ya había resuelto el problema ¿por qué no lo publicó? Como respuesta final a esta pregunta tomaremos la que dio Augusto de Morgan «Cada descubrimiento de Newton tenía dos aspectos. Newton tuvo que hacerlo y, luego, los demás teníamos que descubrir que él lo había hecho».