Tema 5: Aplicaciones de la integral.

Curvas rectificables. Longitud de arco. Área de un recinto plano. Volumen de un sólido de revolución. Otras aplicaciones.

Principales definiciones y teoremas

Teorema 17   El volumen del cuerpo de revolución $E$ que se obtiene al rotar la gráfica de $f(x)$ alrededor del eje OX, se expresa mediante la integral, si existe,

$$V=\pi\int_a^b f^2(x) dx.$$ (19)

Si la curva está definida paramétricamente mediante las funciones $x\equiv x(t)=\phi(t)$ e $y\equiv y(t)=\psi(t)$, siendo $t$ el parámetro definido en el intervalo $[\alpha,\beta]$ con $a=\phi(\alpha)$, $b=\phi(\beta)$ y $f(a)=\psi(\alpha)$, $f(b)=\psi(\beta)$, entonces

$$V= \pi \int_\alpha^\beta y^2(t) x'(t) dt= \pi \int_\alpha^\beta \psi^2(t) \phi'(t) dt.$$ (20)

Teorema 18   El area lateral del cuerpo de revolución $E$ que se obtiene al rotar la gráfica de $f(x)$ alrededor del eje OX, se expresa mediante la integral, si existe,

$$S=2\pi\int_a^b f(x) \sqrt{1+[f'(x)]^2} dx.$$ (21)

Si la función $f(x)$ viene dada de forma paramétrica mediante las funciones $x\equiv x(t)=\phi(t)$ e $y\equiv y(t)=\psi(t)$, siendo $t$ el parámetro definido en el intervalo $[\alpha,\beta]$ con $a=\phi(\alpha)$, $b=\phi(\beta)$ y $f(a)=\psi(\alpha)$, $f(b)=\psi(\beta)$, entonces

$$S=2\pi\int_\alpha^\beta y(t) \sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2} d... ...t_\alpha^\beta \psi(t) \sqrt{[\phi'(t)]^2+[\psi'(t)]^2} dt.$$ (22)

Teorema 19   El volumen del cuerpo de revolución $E$ que se obtiene al rotar la gráfica de $f(x)$ alrededor del eje OY, se expresa mediante la integral, si existe,

$$V=2\pi\int_a^b x f(x) dx.$$ (23)

Si la curva está definida paramétricamente mediante las funciones $x\equiv x(t)=\phi(t)$ e $y\equiv y(t)=\psi(t)$, siendo $t$ el parámetro definido en el intervalo $[\alpha,\beta]$ con $a=\phi(\alpha)$, $b=\phi(\beta)$ y $f(a)=\psi(\alpha)$, $f(b)=\psi(\beta)$, entonces

$$V= 2\pi \int_\alpha^\beta x(t) y(t) x'(t) dt= 2\pi \int_\alpha^\beta \psi(t)\phi(t) \phi'(t) dt.$$ (24)