Tema 2: Integral indefinida.

Primitiva e integral indefinida. Cálculo de primitivas: métodos de integración. Integración por cambio de variable e integración por partes. Integración de funciones racionales e irracionales.

Definición 1   Se dice que una función $F(x)$ es una primitiva de otra función $f(x)$ sobre un intervalo $(a,b)$ si para todo $x$ de $(a,b)$ se tiene que $F'(x)=f(x)$.

Teorema 1   Sean $F_1(x)$ y $F_2(x)$ dos primitivas de la función $f(x)$ en $(a,b)$. Entonces, para todo $x$ de $(a,b)$, $F_1(x)-F_2(x)=const$. Es decir dada una función $f(x)$ sus primitivas difieren en una constante (en adelante denotaremos por $C$ a una constante cualquiera).

Definición 2   El conjunto de todas las primitivas de una función $f(x)$ definida en $(a,b)$ se denomina integral indefinida de $f(x)$ y se denota por $$\int f(x) dx$$. De manera que, si $F(x)$ es una primitiva de $f(x)$,

$$\int f(x) dx = F(x) + C$$ (2)

Teorema 2   (Propiedades de la integral indefinida.)

1. $$\frac{d}{d x}\left[\displaystyle \int f(x) dx \right]=f(x)$$
2. $$\int dF(x) = F(x) + C$$
3. $\forall\alpha,\beta\in\mbox{${\mathbb{R}}$}$, $$\int [\alpha f(x) + \beta g(x)] dx = \displaystyle\alpha \int f(x) dx +\beta \displaystyle \int g(x) dx$$

Tabla de Integrales

1. $$\int 0 dx = C$$
2. $$\int 1 dx = x+C$$
3. $$\int x^\alpha dx = \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C, \quad \forall \alpha\in \mbox{${\mathbb{R}}$} ,\quad \alpha\neq -1$$
4. $$\int \frac{1}{x} dx =\ln \vert x\vert+C$$
5. $$\int a^x dx = \frac{a^x}{ \ln a}+C ,\quad\quad a>0, a\neq 1$$
6. $$\int \mbox{sen }x dx =-\cos x+C$$
7. $$\int \cos x dx = \mbox{sen }x+C$$
8. $$\int \displaystyle\frac{1}{\cos^2 x} dx =\tan x +C$$
9. $$\int \displaystyle\frac{1}{\mbox{sen }^2 x} dx =-\mbox{ ctg }x +C$$
10. $$\int \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \left\{ \begin{array}{l} \mbox{ arcsen }x + C \\ -\arccos x +C \end{array} \right.$$
11. $$\int \displaystyle\frac{1}{ {1+ x^2}} dx = \left\{ \begin{array}{l} \arctan x + C \\ -\mbox{ arcctg }x +C \end{array} \right.$$
12. $$\int \displaystyle\frac{1}{\sqrt{x^2\pm 1}} dx = \ln\left\vert x+\sqrt{x^2\pm 1}\right\vert+C$$
13. $$\int \displaystyle\frac{1}{{x^2-1}} dx =\frac{1}{2} \ln\left\vert\frac{ x-1}{x+1}\right\vert+C$$
14. $$\int \mbox{sh } x dx =\mbox{ch } x+C$$
15. $$\int \mbox{ch } x dx =\mbox{sh } x+C$$
16. $$\int \frac{1}{\mbox{ch }^2 x} dx =\tanh x +C$$
17. $$\int \frac{1}{\mbox{sh }^2 x} dx = \mbox{cth } x + C$$

Métodos de integración.

Integración por cambio de variable.

Teorema 3   Sea $t=\phi(x)$ una función derivable en $x$ y sean $X=(a,b)$ el dominio y $T=\phi[(a,b)]$ la imagen de $\phi(x)$. Supongamos que sobre el conjunto $T$ existe la primitiva de la función $g(t)$, o sea,

$$\displaystyle \int g(t)dt =G(t) + C.$$

Entonces sobre todo el conjunto $(a,b)$ la función $g[\phi(x)]\phi'(x)$ tiene una primitiva y además

$$\displaystyle \int g[\phi(x)]\phi'(x) dx = G[\phi(x)] + C.$$

Ejemplos:

a) Calcular $$\int \cos(2x) dx$$. Como la integral no es de la tabla es necesario convertirla en una de la tabla. Para ello hacemos:

$$\displaystyle \int \cos(2x) dx =\left\{ \begin{array}{l} ... ...\frac{1}{2} \mbox{sen }y +C= \frac{1}{2} \mbox{sen }(2x) + C$$

b) Calcular $$\int e^{\cos x }\mbox{sen }x dx$$. Como la integral no es de la tabla es necesario convertirla en una de la tabla:

$$\displaystyle \int e^{\cos x}\mbox{sen }x dx =\left\{ \b... ...ht\} = -\displaystyle \int e^y dy = - e^y +C= - e^{\cos x} + C$$

Integración por partes. Supongamos que las funciones $u(x)$ y $v(x)$ son derivables en un intervalo $(a,b)$ y existe la primitiva de la función $v(x)u'(x)$ en $(a,b)$. Entonces, sobre $(a,b)$ existe la primitiva de $u(x)v'(x)$ y se cumple que

$$\displaystyle \int u(x) v'(x) dx = u(x)v(x) - \displaystyle \int v(x)u'(x) dx ,$$ (3)

o en forma diferencial

$$\displaystyle \int u(x) dv(x)= u(x)v(x) - \displaystyle \int v(x)du(x).$$ (4)

Ejemplos:

a) Calcular $$\int x^n \ln x dx$$. Como la integral no es de la tabla es necesario convertirla en una de la tabla. Utilicemos la integración por partes:

$$\begin{array}{l} \displaystyle \int x^n \ln x dx = \left\... ...{n+1}}{n+1}\left( \ln x - \frac{1}{n+1} \right) + C \end{array}$$

b) Calcular $I= \displaystyle \int e^{ax} \cos bx dx$. Como la integral no es de la tabla es necesario convertirla en una de la tabla. Utilizemos la integración por partes:

$$\begin{array}{l} I = \displaystyle \int e^{ax}\cos bx dx ... ...{b} \displaystyle \int e^{ax}\mbox{sen }bx dx . \end{array}$$

La integral $$\int e^{ax}\mbox{sen }bx dx$$ es de la misma forma que la original así que volveremos a aplicar integración por partes:

$$\begin{array}{l} \displaystyle \int e^{ax}\mbox{sen }bx ... ...frac{a}{b} \displaystyle \int e^{ax}\cos bx dx . \end{array}$$

Juntando las dos fórmulas anteriores concluimos que

$$I= \frac{e^{ax}\mbox{sen }bx }{b} + \frac{a}{b^2} {e^{ax}\cos bx } - \frac{a^2}{b^2} I,$$

de donde, resolviendo la ecuación respecto a $I$ obtenemos:

$$I = \displaystyle \int e^{ax}\cos bx dx = \frac{b \mbox{sen }bx + a \cos bx }{a^2+b^2}e^{ax}+C.$$

Algunas de las integrales que pueden ser calculadas utilizando la integración por partes son:

1. Las integrales donde aparezcan las funciones $\ln x$, $\mbox{ arcsen }x$, $\arccos x$, $\ln \phi(x)$, potencias enteras de las funciones anteriores, entre otras donde tendremos que escoger como función $u(x)$ a alguna de las funciones anteriores (ver ejemplo a).
2. Las integrales $$\int (ax+b)^n \mbox{sen }cx dx$$, $$\int (ax+b)^n \cos cx dx$$ y $$\int (ax+b)^n e^{cx} dx$$. Donde para encontrar las primitivas hay que utilizar la fórmula de integración por partes $n$ veces tomando cada vez $u(x)=(ax+b)^n$, $u(x)=(ax+b)^{n-1}$, ...., respectivamente.
3. Las integrales de la forma $$\int e^{ax}\mbox{sen }bx dx$$, $$\int e^{ax}\cos bx dx$$, $$\int \mbox{sen }(\ln x) dx$$ y $$\int \cos(\ln x) dx$$. Para encontrar las primitivas hay que denotar por $I$ a cualquiera de las integrales anteriores, aplicar dos veces integración por partes y resolver la ecuación resultante respecto a $I$ (ver ejemplo b).

Integración de funciones racionales.

Si $n>m$ entonces podemos dividir los polinomios $P_n(x)$ y $Q_m(x)$ de tal forma que

$$\displaystyle\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}= p_{n-m}(x)+\displaystyle\frac{R_k(x)}{Q_m(x)}, \quad \mbox{donde}\quad k<m.$$

Teorema 4   Supongamos que $$\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}$$ es una fracción simple, y que el polinomio denominador se puede factorizar de la siguiente forma

$$Q_n(x)= (x-x_1)^{n_1}\cdots (x-x_p)^{n_p} (x^2+p_1 x +q_1)^{m_1}\cdots (x^2+p_k x +q_k)^{m_k},$$ (5)

donde $x_1,...,x_p$ son las raíces reales de $Q_m(x)$, y los factores $x^2 + p_i x + q_i, i=1,..,k$ no tienen raíces reales. Entonces, la fracción simple $$\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}$$ se puede descomponer en las siguientes fracciones elementales simples:

$$\begin{array}{rl} \displaystyle\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}= & \disp... ...k)^{m_k}}+\cdots+\frac{L_1x+K_1}{(x^2+p_k x +q_k)}, \end{array}$$ (6)

donde $A_i$, $B_i$, $M_i$, $N_i$, $L_i$ y $K_i$ son ciertas constantes reales.

Para determinar dichas constantes sumamos los términos de la derecha. Nótese que el denominador común coincide con (5) y el numerador es un polinomio de grado a lo sumo $n$. Luego comparamos el polinomio numerador que se obtiene al sumar las fracciones más simples en (6) con $P_n(x)$. Igualando los coeficientes de ambos obtendremos un sistema de $n$ ecuaciones con $n$ incógnitas que podemos resolver para encontar los coeficientes indeterminados $A_i$, $B_i$, $M_i$, $N_i$, $L_i$ y $K_i$. No obstante es posible encontrar el coeficiente $A_{n_i}$ de los sumandos correspondientes a uno de los ceros reales $x_i$, o sea, el $A_{n_i}$ de

$$\frac{A_{n_i}}{(x-x_i)^{n_i}}+\frac{A_{n_i-1}}{(x-x_i)^{n_i-1}}+\cdots+\frac{A_1}{(x-x_i)},$$

utilizando la propiedad que

$$\lim_{x\to x_i} \displaystyle\frac{P_n(x)(x-x_i)^{n_i}}{Q_m(x)}= A_{n_i}.$$ (7)

Como consecuencia de lo anterior, si $Q_m(x)$ tiene $m$ ceros reales y simples, o sea, si su factorización es de la forma

$$Q_n(x)= (x-x_1)(x-x_2)\cdots (x-x_{m-1})(x-x_m),$$ (8)

entonces, $$\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}$$ se puede descomponer en las fracciones elementales simples:

$$\begin{array}{rl} \displaystyle\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}= & \disp... ...s+\frac{A_{m-1}}{(x-x_{m-1})}+ \frac{A_m}{(x-x_m)}, \end{array}$$ (9)

donde $A_1$,..., $A_m$ se calculan por la fórmula

$$A_k=\lim_{x\to x_k} \displaystyle\frac{P_n(x)(x-x_k)}{Q_m(x)},\quad k=1,2,...,m.$$ (10)

Teorema 5   (Primitivas de las fracciones simples más elementales) ¹

$$\begin{array}{l} 1)\quad \displaystyle\int \frac{A}{x-a} d... ...qrt{4q-p^2}}\arctan \frac{2x+p}{\sqrt{4q-p^2}} +C . \end{array}$$ (11)

Ejemplos:

a) Calcular $$\int \frac{x}{x^2-3x+2} dx$$. Primero encontraremos las fracciones simples mas elementales:

$$\frac{x}{x^2-3x+2}= \frac{x}{(x-1)(x-2)}= \frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}.$$

Luego, utilizando (10) obtenemos

$$A=\lim_{x\to 1} \frac{x(x-1)}{(x-1)(x-2)}=-1,\quad B=\lim_{x\to 2} \frac{x(x-2)}{(x-1)(x-2)}=2.$$

Finalmente, utilizando (11) obtenemos

$$\displaystyle\int \frac{x}{x^2-3x+2} dx = \displaystyle\in... ...2}{x-2}\right) dx = -\ln\vert x-1\vert+2\ln\vert x-2\vert+C.$$

a) Calcular $$\int \frac{x}{(x-1)^2 (x^2+1)} dx$$. Primero encontraremos las fracciones simples mas elementales:

$$\frac{x}{(x-1)^2(x^2+1)}= \frac{A}{(x-1)^2}+ \frac{B}{x-1}+\... ...= \frac{A(x^2+1)+B(x^2+1)(x-1)+(Cx+D)(x-1)^2}{(x-1)^2(x^2+1)}.$$

Para encontrar los coeficientes $A,B,C,D$ igualamos los polinomios de los numeradores:

$$x=A(x^2+1)+B(x^2+1)(x-1)+(Cx+D)(x-1)^2.$$

Dos polinomios de grado 3 son iguales si los coeficientes de las potencias $x^3$, $x^2$, $x$ y $x^0$ son iguales, por lo que igualando dichos coeficientes obtenemos el sistema de ecuaciones:

$$\begin{array}{cc} \begin{array}{lr} x^3: & B+C=0 x^2: & A-... ...\frac{1}2 B= 0 C=0 D=-\frac{1}2 \end{array}\end{array}$$

También es posible utilizar otra propiedad de los polinomios: dos polinomios de grado $n$ que toman $n-1$ valores iguales en $n+1$ puntos dados son identicamente iguales, es decir, si $P_n(x_k)=Q_n(x_k)$ para ciertos $x_1,...,x_{n+1}$ (distintos entre si), entonces $P_n(x)\equiv Q_n(x)$ para todo $x\in \mbox{${\mathbb{R}}$}$. En nuestro ejemplo es conveniente tomar como los $x_k$ los ceros de los polinomios denominadores y luego el resto de los valores tomarlos los más sencillos posibles:

$$\begin{array}{cc} \begin{array}{lr} x=1: & A= \frac{1}2 x... ...\frac{1}2 B= 0 C=0 D=-\frac{1}2 \end{array}\end{array}$$

que coincide con la encontrada por el método anterior. Luego,

$$\displaystyle\int \frac{x}{(x-1)^2 (x^2+1)} dx =\frac{1}2 ... ...2+1} \right] dx = - \frac{1}{2(x-1)}-\frac{1}2 \arctan x +C.$$

Integrales trigonométricas.     En este apartado vamos a estudiar las integrales de la forma $$\int f(\mbox{sen }x,\cos x) dx$$ las cuales se convierten en integrales racionales mediante la sustitución trigonométrica $t=\tan \frac{x}2$,

$$\int f(\mbox{sen }x,\cos x) dx = \left\{ \begin{array}{l... ...\frac{2t}{1+t^2},\frac{1-t^2}{1+t^2}\right) \frac{2}{1+t^2}dt,$$

que es un integral de una función racional.

Ejemplo. Calcular la integral $$\int\frac{ dx }{\mbox{sen }x}$$.

$$\displaystyle\int\frac{ dx }{\mbox{sen }x} = \left\{ \beg... ...t = \ln\vert t\vert+C=\ln\left\vert\tan\frac{x}2\right\vert+C.$$

Existen varios tipos de integrales trigonométricas que se pueden racionalizar con cambios más sencillos. Ellas son las siguientes:

1. $$\int f(\mbox{sen }x,\cos x) dx$$, donde $f(-\mbox{sen }x,\cos x)=-f(\mbox{sen }x,\cos x)$, cambio $t=\cos x$
2. $$\int f(\mbox{sen }x,\cos x) dx$$, donde $f(\mbox{sen }x,-\cos x)=-f(\mbox{sen }x,\cos x)$, cambio $t=\mbox{sen }x$
3. $$\int f(\mbox{sen }x,\cos x) dx$$, donde $f(-\mbox{sen }x,-\cos x)=f(\mbox{sen }x,\cos x)$, cambio $t=\tan x$

Ejemplos.

a) Calcular la integral $$\int\frac{ dx }{\mbox{sen }x}$$. Esta integral es del tipo 1. Luego,

$$\displaystyle\int\frac{ dx }{\mbox{sen }x} = \left\{ \beg... ...}{1-t}\right\vert+C =\ln\left\vert\tan\frac{x}2 \right\vert+C.$$

que coincide con el resultado obtenido al utilizar la sustitución $t=\tan \frac{x}2$

b) Calcular la integral $$\int\cos^3 x { dx }$$. Esta integral es del tipo 2. Luego,

$$\displaystyle\int\cos^3 x dx = \left\{ \begin{array}{l... ...\frac{1}3 t^3+C= \mbox{sen }x -\frac{\mbox{sen }^3 x}3 + C.$$

c) Calcular la integral $$\int\tan^3 x { dx }$$. Esta integral es del tipo 3. Luego,

$$\begin{array}{l} \displaystyle\int\tan^3 x dx = \left\{... ...2 x)+C = \frac{\tan^2 x}2 + \ln\vert\cos x\vert+C. \end{array}$$

Integrales irracionales.     En este apartado vamos a estudiar las integrales de la forma $$\int f(x,\sqrt{x^2 \pm a^2} ) dx$$, $$\int f(x,\sqrt{a^2 - x^2} ) dx$$ y $$\int f\left( x, \sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}} \right) dx$$.

Las integrales $$\int f(x,\sqrt{x^2 \pm a^2} ) dx$$ y $$\int f(x,\sqrt{a^2 - x^2} ) dx$$.

Estas integrales irracionales se convierten en integrales trigonométricas mediante los cambios:

1. $$\int f(x,\sqrt{a^2 - x^2} ) dx$$, cambio $x=a\mbox{sen }t$
2. $$\int f(x,\sqrt{x^2 - a^2} ) dx$$, cambio $$x=\frac{a}{\mbox{sen }t}$$
3. $$\int f(x,\sqrt{x^2 + a^2} ) dx$$, cambio $x=a \tan t$

Ejemplos.

a) Calcular la integral $$\int\sqrt{a^2-x^2} { dx }$$. Esta integral es del tipo 1. Luego,

$$\displaystyle\int\sqrt{a^2-x^2} { dx } = \left\{ \begin{ar... ...\cos^2 t{dt} = \frac{a^2}2 t + \frac{a^2}4 \mbox{sen }2t + C,$$

pero, $\mbox{sen }2t=2sen t\cos t=2\mbox{sen }t\sqrt{1-\mbox{sen }^2 t}=\frac{2x}{a^2}\sqrt{a^2-x^2}$, por tanto

$$\displaystyle\int\sqrt{a^2-x^2} { dx } = \frac{a^2}2 \mbox{ arcsen }\frac{x}a + \frac{x}2 \sqrt{a^2-x^2} + C.$$

b) Calcular la integral $$\int\sqrt{x^2-a^2} { dx }$$. Esta integral es del tipo 2. Luego,

$$\begin{array}{l} \displaystyle\int\sqrt{x^2-a^2} { dx } ... ...\ln\left\vert\frac{y-1}{y+1} \right\vert \right]+C, \end{array}$$

pero, $y=\cos t=\sqrt{1-\mbox{sen }^2 t}=\frac{\sqrt{x^2-a^2}}{x}$, por tanto

$$\displaystyle\int\sqrt{x^2-a^2} { dx } = \frac{x}{2} \sqrt... ... \frac{a^2}2 \ln\left\vert {x+ \sqrt{x^2-a^2}} \right\vert +C.$$

c) Calcular la integral $$\int\sqrt{x^2+a^2} { dx }$$. Esta integral es del tipo 3. Luego,

$$\begin{array}{l} \displaystyle\int\sqrt{x^2+a^2} { dx } = \... ...\ln\left\vert\frac{y+1}{y-1} \right\vert \right]+C, \end{array}$$

pero, $y=\mbox{sen }t=\frac{\tan t}{\sqrt{1+\tan^2 t}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}$, por tanto

$$\displaystyle\int\sqrt{x^2+a^2} { dx } = \frac{x}{2} \sqrt... ... \frac{a^2}2 \ln\left\vert {x+ \sqrt{x^2+a^2}} \right\vert +C.$$

Las integrales $$\int f\left( x, \sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}} \right) dx$$. Las integrales del tipo

$$\int f\left( x, \sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}} \right) dx,$$

se racionalizan mediante el cambio $t=\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}$.

Ejemplo Calcular la integral $$\int\frac{d x}{1+\sqrt[3]{x+1}}$$. Esta integral se racionaliza con el cambio $t=\sqrt[3]{x+1}$. Luego,

$$\displaystyle\int\frac{d x}{1+\sqrt[3]{x+1}}= \left\{ \b... ...-1)dt + 3 \int \frac{dt}{t+1} = \frac{3}{2}t(t-2)+3\ln(1+t)+C,$$

de donde, deshaciendo el cambio $t=\sqrt[3]{x+1}$, obtenemos

$$\frac{3}{2}\sqrt[3]{x+1}(\sqrt[3]{x+1}-2)+3\ln(1+\sqrt[3]{x+1})+C.$$