Definición axiomática del conjunto numérico $\mbox{${\mathbb{R}}$}$.

Definición 7.2   Un conjunto de elementos es un cuerpo si se cumple que cualesquiera sean $a, b\in A$ el elemento suma ``$+$'' $a+b$ y el elemento multiplicación ``$\cdot$'' $a\cdot b$ son elementos de $A$. Además las operaciones ``+'' y ``$\cdot$'' satisfacen las siguientes propiedades:

1. Propiedades de la suma:
   1. $(a+b)+c= a+(b+c)$ (ley asociativa)
   2. Existe un elemento $0\in A$ tal que para todo $a\in A$, $a+0=0+a=a$ (elemento nulo de la suma)
   3. Para todo $a\in A$, existe un elemento $(-a)\in A$ tal que $(-a)+a=a+(-a)=0$ (elemento inverso de la suma)
   4. $a+b=b+a$ (ley commutativa)
2. Propiedades de la multiplicación:
   1. $(a\cdot b)\cdot c= a\cdot (b\cdot c)$ (ley asociativa)
   2. Existe un elemento $1\in A$ tal que para todo $a\in A$, $a\cdot 1=1\cdot a=a$ (elemento nulo de la multiplicación )
   3. Para todo $a\neq 0$ existe un elemento $(a^{-1})\in A$ tal que $(a^{-1})\cdot a=a\cdot (a^{-1})=1$ (elemento inverso de la multiplicación)
   4. $a\cdot b=b\cdot a$ (ley commutativa)
3. Propiedades de la suma y multiplicación:
   1. $a\cdot (b+c)= a\cdot b + a\cdot c$ (ley distributiva)

Si un conjunto de elementos satisface los axiomas anteriores se le denomina cuerpo. De la definición anterior deducimos que los números naturales y los enteros no conforman un cuerpo pues para cualquiera sea $n\in{\mathbb{N}}$ o $n\in {\mathbb{Z}}$ no necesariamente existe el inverso respecto a la multiplicación por ejemplo, si $n=2$ el inverso sería $\mbox{\scriptsize$\frac{1}{2}$} \notin {\mathbb{Z}}$. Es fácil comprobar que ${\mathbb{Q}}$ es un cuerpo.

Como consecuencia de los axiomas anteriores podemos probar fácilmente que para todo $x\in A$, $0\cdot x=0$, $(-1)\cdot x=(-x)$, que el elemento nulo $0$ es único que el elemento inverso de la suma es único, entre otras muchas:

1. Dados $a,b\in A$, la ecuación $a+x=b$ tiene solución única, es decir sólo hay un valor de $x\in A$ que cumpla con la ecuación.
2. Existe un único elemento neutro 1 respecto a la multiplicación.
3. Para todo $x\in A$, $x\neq 0$ existe un único inverso $x^{-1}$ tal que $x\cdot x^{-1}=1$.
4. Dados $a,b\in A$, $a\neq 0$, la ecuación $a\cdot x=b$ tiene solución única, es decir sólo hay un valor de $x\in A$ que cumpla con la ecuación.
5. Si $x\cdot y=0$, entonces ò $x=0$ ò $y=0$.
6. Para todo $x\in A$, $(-1)\cdot (-x)=x$.
7. $(-x)\cdot (-y)=x \cdot y$.

Una propiedad importante que debemos considerar es el orden. Dentro de los números naturales es evidente que existe cierto orden. Por ejemplo, 1 es menor que 2. Además sólo hay un natural que sea mayor o igual que 3 y menor igual que 3: el 3. Por tanto definamos una operación de orden que ha de cumplir ciertos requisitos.

Definición 7.3   Diremos que un conjunto de elementos $A$ es un conjunto ordenado si existe una relación de orden $\leq$ tal que cuales quiera sean $a$ y $b$ números reales se tiene que se cumple que $a\leq b$ o no se cumple y además se deben cumplir las siguientes propiedades:

1.

Para todo $a\in A$, $a\leq a$

2.

Si $a\leq b$ y $b\leq a$ entonces $a=b$.

3.

Si $a\leq b$ y $b\leq c$ entonces $a\leq c$.

4.

Para todos $a, b\in A$, o $a\leq b$ o $b\leq a$.

Si además, $A$ es un cuerpo, entonces para cuales quiera sean $a, b$ y $c$ de $A$ se tiene que

5.

Si $a\leq b$ entonces $a+c\leq b+c$.

6.

Si $0\leq a$ y $0\leq b$ entonces $0\leq a\cdot b$.

Es fácil comprobar que los números racionales son un cuerpo ordenado. No obstante hemos visto que existen algunos otros números que no son racionales. Es decir, ¡la recta de los números racionales tiene huecos vaciós! Ello nos conduce a tener que imponer algún axioma más que nos permita incluir los números irracionales. Existen distintas formas de hacerlo. La primera de ellas se debió al matemático alemán Richard Dedekind que introdujo la noción de cortaduras. Nosotros vamos a introducir otra forma más sencilla conocida como el axioma de continuidad o completitud que nos ayudará a definir con más precisión el conjunto de los números reales $\mbox{${\mathbb{R}}$}$.

Definición 7.4   Se denomina al conjunto $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ conjunto de los números reales, y sus elementos números reales, al cuerpo ordenado no nulo que cumplen los axiomas descritos en las definicones 7.2 (axiomas de cuerpo) y 7.3 (axiomas de orden) y que además satisfagan el siguiente axioma de completitud o continuidad, comúnemnete denomiado como propiedad de las cortaduras de Dedekind:

Si $A$ y $B$ son dos subconjuntos de $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ no nulos tales que cualquiera sean $a\in A$ y $b\in B$ se tiene que $a\leq b$, entonces existe un $c\in\mbox{${\mathbb{R}}$}$ tal que para todo $a\in A$ y $b\in B$, $a\leq c \leq b$.